\documentclass[a4paper,10pt,twocolumn]{article}

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\setCJKmainfont{SimSun}

\author{Aminiam}
\title{CPhO Formula Table}
\date{}

\newcommand*{\arccot}{\mathop{\mathrm{arccot}}}
\newcommand*{\oiint}{\mathop{\int\hspace{-8pt}\int\hspace{-13.5pt}\bigcirc}}

\begin{document}

\begin{titlepage}
    \maketitle
\end{titlepage}

\pagenumbering{arabic}

\tableofcontents

\newpage

\section{数学公式}
\subsection{梯度散度旋度和拉普拉斯算子}

\begin{equation*}
    \nabla f = \sum \frac{1}{h_i} \frac{\partial f}{\partial u_i}\vec{e}_{u_i}
\end{equation*}

\begin{equation*}
    \nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{\Pi h_i}\sum _{\varepsilon_{ijk}=1}\frac{\partial(A_ih_jh_k)}{\partial u_i}
\end{equation*}

\begin{equation*}
    \nabla \times \vec{A} = \frac{1}{\Pi h_i}\cdot
    \sum \varepsilon_{ijk} h_i\vec{e_{u_i}}\partial_{u_j}h_kA_k
\end{equation*}

\begin{equation*}
    \Delta f = \nabla^2 f = 
    \frac{1}{\Pi h_i}
    \sum_{\varepsilon_{ijk}=1}
    \left[
    \frac{\partial}{\partial u_i}
    \left(
    \frac{\partial f}{\partial u_i}\frac{h_jh_k}{h_i}
    \right) 
    \right]
\end{equation*}

\begin{align*}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
        &$u_1$&$u_2$&$u_3$&$h_1$&$h_2$&$h_3$\\
        \hline
        rectangular&x&y&z&1&1&1\\
        \hline
        cylindrical&r&$\phi$&z&1&r&1\\
        \hline
        spherical&r&$\theta$&$\phi$&1&r&$r \sin \theta$\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{align*}

\subsection{积分公式}
\begin{enumerate}
    \item Wallis公式：
    \begin{enumerate}
        \item 
        $$
        I_{n}
        =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^n xdx}
        =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^n xdx}
        $$
        $$
        =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}(n=even)
        $$
        $$
        =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-1}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot 1(n=odd)
        $$
        \item 
        $$
        \int_{0}^{\pi}\sin^n xdx=2I_{n}
        $$
        \item 
        $$
        \int_{0}^{\pi}\cos^n xdx
        $$
        $$
        =2I_{n}(n=even)=0(n=odd)
        $$
        \item 
        $$
        \int_{0}^{2\pi}sin^n xdx=\int_{0}^{2\pi}\cos^n xdx
        $$
        $$
        =4I_n(n=even)=0(n=odd)
        $$
    \end{enumerate}
    \item 
    $$
    \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}
    =\frac{\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx}{\Gamma(s)}
    $$
    \item $\int\ln x = (\ln x -1)x$
    \item $\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$
\end{enumerate}

\subsection{导数公式}
\begin{enumerate}
    \item $(\tan\theta)'=\sec^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$
    \item $(\cot\theta)'=-\csc^2\theta=-\frac{1}{\sin^2\theta}$
    \item $(\arcsin\theta)'=-(\arccos\theta)'=\frac{1}{\sqrt{1-\theta^2}}$
    \item $(\arctan\theta)'=-(\arccot\theta)'=\frac{1}{1+\theta^2}$
\end{enumerate}

\subsection{复变函数}
C-R条件：
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
$$

柯西公式：
$$
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_l{\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}}d\zeta
$$
$$
f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_l{\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}}
$$

洛朗级数展开：
$$
f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac
{\frac{k!}{2\pi i}\oint_C{\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}}}d\zeta}
{k!}(z-z_0)^k
$$

判断极点阶数：
$$
\lim_{z\to z_0}[(z-z_0)^mf(z)]=\text{非零有限值}
$$

单极点留数：
$$
Res f(z_0)=\lim_{z\to z_0}[(z-z_0)f(z)]
$$

$m$阶极点的留数：
$$
Res f(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac
{\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)]}
{(m-1)!}
$$

留数定理：
$$
\oint_l{f(z)dz}=2\pi i\sum_{j=1}^{n}Res f(b_i)
$$

\subsection{矢量分析}
\begin{enumerate}
    \item Levi-Civita：$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mnk}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm}$
    \item $\nabla\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla^2A$
    \item $\vec{A_i}\cdot(\vec{A_j}\times\vec{A_k})=\vec{A_i}\cdot(\vec{A_j}\times\vec{A_k}),\varepsilon_{ijk}=1$
    \item $\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}$
\end{enumerate}

\subsection{变分法}
对于$I=\int_{x_1}^{x_2}f(x,y,y')dx$，泛函取极值的必要条件：
$$
\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0
$$

或者第一积分是常数：
$$
\frac{d}{dx}\left(f-\frac{\partial f}{\partial y'}y'\right)=0
$$

\subsection{二项分布、高斯分布、泊松分布}
对于二项分布：
$$
W(n)=\frac{N!}{n!(N-n)!}p^nq^{N-n}
$$

在$\bar{n}=Np$和$n$很接近的情况下，二项分布变成高斯分布：
$$
W(N)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi Npq}}e^{-\frac{(n-\bar{n})^2}{2Npq}}
$$

在$p\ll 1$和$n\ll N$，二项分布变成泊松分布：
$$
W(N)\approx\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda},\lambda=Np
$$

\subsection{杂项公式}
曲率半径：
$$
\rho = \left|
    \frac{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2}}}{y''}
\right|
$$

\section{力学}
\subsection{天体动力学}
轨道、能量、角动量
$$
p=\frac{L^2}{GMm^2}
$$
$$
e=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}
$$
$$
a=\frac{p}{1-e^2}=\frac{GMm}{2|E|}
$$
$$
b=\frac{p}{\sqrt{1-e^2}}=\frac{L}{\sqrt{2m|E|}}
$$

\subsection{流体力学(定常理想流体)}
流守恒方程：
$$
\dot{\rho}+\nabla\cdot(\rho\vec{v})=0
$$

流守恒方程(不可压缩流体):
$$
\nabla\vec{v}=0
$$

欧拉流体动力学方程：
$$
\rho\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=\vec{f}-\nabla P
$$

雷诺数：
$$
Re=\frac{\rho vr}{\eta}
$$

泊肃叶关系(向右为正，左边$p_1$，右边$p_2$)：
$$
(p_1-p_2)\pi r^2=-\eta\frac{dv}{dr}2\pi rL
$$
$$
v=\frac{p_1-p_2}{4\eta L}(R^2-r^2)
$$
$$
Q_V=\frac{p_1-p_2}{8\eta L}\pi R^4
$$


\subsection{变质量物体运动}
$$
m\frac{d\vec{v}}{dt}=(\vec{u}-\vec{v})\frac{dm}{dt}+\vec{F}
$$

\subsection{正碰撞}
设碰前速度$u$，碰后速度$v$：
$$
v_1=v_c-\frac{m_2}{m_1+m_2}e(u_1-u_2)
$$
$$
v_2=v_c+\frac{m_1}{m_1+m_2}e(u_1-u_2)
$$

碰撞过程中损失的能量：
$$
\Delta E=\frac{1}{2}(1-e^2)\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(u_1-u_2)^2
$$

\section{电磁学}
\subsection{磁压力、伯努利方程}
磁压力在国际单位制中：
$$
p_B=\frac{B^2}{2\mu_0}
$$

磁流体伯努利方程：
$$
\frac{\rho v^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}=C
$$

拉普拉斯力：(待补充)

\subsection{电磁场相对论变换}
\begin{equation*}
    \begin{bmatrix}
        E'_x\\E'_y\\E'_z\\B'_x\\B'_y\\B'_z
    \end{bmatrix}
    =
    \begin{bmatrix}
        1&0&0&0&0&0\\
        0&\gamma&0&0&0&-\beta\gamma c\\
        0&0&\gamma&0&\beta\gamma c&0\\
        0&0&0&1&0&0\\
        0&0&\frac{\beta\gamma}{c}&0&\gamma&0\\
        0&-\frac{\beta\gamma}{c}&0&0&0&\gamma
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
        E_x\\E_y\\E_z\\B_x\\B_y\\B_z
    \end{bmatrix}
\end{equation*}

或者：
$$
\vec{E}'_\perp=\gamma(\vec{E}_\perp+\vec{v}\times\vec{B})
$$
$$
\vec{B}'_\perp=\gamma(\vec{B}_\perp-\frac{\vec{v}\times\vec{E}}{c^2})
$$

\subsection{电像法}
$$
q'=-\frac{R}{d}q,x=\frac{R^2}{d},Q=Q_0-q'
$$

\subsection{电四极子}
四极矩：
$$
Q=2ql^2
$$

电势：
$$
\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0r^3}(3\cos^2\theta-1)
$$

带等量异号电荷的两同心圆环的电场与电四极子相仿，其四极矩
（内环半径$a$带正电$q$，外环半径$b$带负电$-q$：
$$
Q=\frac{q}{2}(b^2-a^2)
$$

\subsection{磁介质}
\subsubsection{分子电流}
磁极化强度：
$$
\vec{M}=\frac{\sum \vec{m}_{\text{分子}}}{\Delta V}
$$

磁化电流：
$$
\vec{i}'=\vec{M}\times\vec{n}
$$

引入辅助矢量磁场强度矢量$H$：
$$
\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}
$$

\subsubsection{磁荷观点}
磁极化强度矢量：
$$
\vec{J}=\frac{\sum\vec{p}_{m\text{分子}}}{\Delta V}
$$

表面磁荷分布：
$$
\sigma_m=\vec{J}\cdot\vec{n}
$$

按照磁荷观点，总磁场$H$由$H_0,H'$两部分组成。

首先磁化场是电流产生的：
$$
\oint_{(L)}\vec{H}_0\cdot d\vec{l}=\sum_{L\text{内}}I_0
$$
$$
\oiint_{(S)}\vec{H}_0\cdot d\vec{S}=0
$$

$H'$是磁荷产生的
$$
\oint\vec{H}'\cdot d\vec{l}=0
$$
$$
\oiint_{(S)}\vec{H}'\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\sum_{(S\text{内})}q_m
$$

总磁场满足的安培环路定理和高斯定理分别为：
$$
\oint_{(L)}\vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum_{L\text{内}}I_0
$$
$$
\oiint_{(S)}\vec{H}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\sum_{(S\text{内})}q_m
$$

引入辅助性矢量$\vec{B}$：
$$
\vec{B}\equiv\mu_0\vec{H}+\vec{J}
$$
$$
\oiint_{(S)}\vec{B}\cdot d\vec{S}=0
$$

\subsection{磁矢势}
对于任意闭合载流回路：
$$
\vec{A}(P)=\frac{\mu_0I}{4\pi}\oint_{(L)}\frac{d\vec{l}}{r}
$$

\subsection{磁路定理}
磁路和电路的对比：
\begin{align*}
    \begin{tabular}{|c|c|}
    \hline
    \text{电路}&\text{磁路}\\
    \hline
    \text{电动势}$\mathscr{E}$&\text{磁通势}$\mathscr{E}_m=NI_0$\\
    \hline
    \text{电流}$I$&\text{磁通量}$\Phi_B$\\
    \hline
    \text{电导率}$\sigma_i$&\text{磁导率}$\mu_i\mu_0$\\
    \hline
    \text{电阻}$R_i=\frac{l_i}{\sigma_iS_i}$&\text{磁阻}$R_{mi}=\frac{l_i}{\mu_i\mu_0S_i}$\\
    \hline
    \text{电势降落}$IR_i$&\text{磁势降落}$H_il_i=\Phi_B\frac{l_i}{\mu_i\mu_0S_i}$\\
    \hline
    \end{tabular}
\end{align*}

\section{热学}
\subsection{热力学宏观理论逻辑纲要}
命题1：在等压过程中，可以给出态函数$H$只与系统初末态有关(节流过程)
$$
H=U+PV,\Delta Q = \Delta H
$$
$$
C_{P,m}=\frac{1}{\nu}\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)
$$

命题2：焦耳定律在理想气体中表达：
$$
(\delta Q)_V=\nu C_{V,m}dT
$$

命题3：理想气体迈耶公式：
$$
C_{P,m}-C_{V,m}=R
$$

命题4：泊松公式：
$$
\gamma=\frac{C_{P,m}}{C_{V,m}}
$$

命题5：多方过程：如果理想气体在过程中的热容为常数，则称这种过程为多方过程
$$
PV^n=C,n=\frac{C_{n,m}-C_{P,m}}{C_{n,m}-C_{V,m}}
$$

命题6：理想气体中声速：
声学中声速公式：$v=\sqrt{\frac{\beta}{\rho}}$，$\rho$为气体密度，$\beta$为气体弹性模量，$\beta=-V\left(\frac{dp}{dV}\right)$，
声音传播可以认为是绝热过程，对绝热方程求导得到：$\beta=\gamma P$，因此声速：
$$
v=\sqrt{\frac{\gamma RT}{\nu}}
$$

命题7：
混合气体的热容比：
$$
\gamma_m=\frac{\nu_1C_{P1}+\nu_2C_{P2}}{\nu_1C_{V1}+\nu_2C_{V2}}
$$

\subsection{亥姆霍兹自由能、吉布斯自由能和化学势}
$$
F=U-TS
$$
$$
G=U-TS+PV
$$
$$
\mu=\frac{G}{N}
$$

\subsection{速率分布}
$$
\int_{0}^{\infty}4\pi v^2f(v)dv=1
$$
$$
\frac{1}{2}m\int_{0}^{\infty}4\pi v^4f(v)dv=\bar{\varepsilon}
$$
$$
f(v)=f_M(v)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}
e^{-\frac{mv^2}{2kT}}
$$

在速度分布各向同性的情况下可以写成：
$$
F_M(v)\equiv4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}
e^{-\frac{mv^2}{2kT}}v^2
$$

各方向速度分量：
$$
f_M(v_i)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}e^{-\frac{mv_i^2}{2kT}}
$$

方均根速率：
$$
v_{rms}=\sqrt{\bar{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}
$$

平均速率：
$$
\bar{v}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}
$$

泻流速率：
$$
v_{\text{泻}}=\frac{\bar{v}}{4}=\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}
$$

\subsection{相变}
杠杆原理：

终点对应的体积$V_G=\nu V_G^{mol},V_L=\nu V_L^{mol}$，$\nu$为两相的总摩尔数，
设$x_G,x_L$代表在气液共存时两相各自占有的摩尔分数，有：
$$
x_G=\frac{\bar{V}-V_L^{mol}}{V_G^{mol}-V_L^{mol}},
x_L=\frac{V_G^{mol}-\bar{V}}{V_G^{mol}-V_L^{mol}}
$$

克拉波龙方程：
$$
\frac{\Delta P}{\Delta T}=\frac{\Lambda^{mol}}{T(V^{mol}_\beta-V^{mol}_\alpha)}
$$

\subsection{范德瓦尔斯气体}
$$
(P+\frac{a}{V_m^2})(V_m-b)=RT
$$
$$
U(V,T)=\int_{T_0}^{T}C_VdT-\frac{\nu^2a}{V}+U_0
$$

\subsection{光子气}
(待补充)

\section{光学}
\subsection{波动光学}
\subsubsection{坡印廷矢量和光强}
电磁波中$E \perp B$，
且$\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}E=\sqrt{\mu\mu_0}H$，
坡印廷矢量的瞬时值为：
$$
S=\vert\vec{E}\times\vec{B}\vert
=\sqrt{\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\mu\mu_0}}E^2
$$

在可见光波段，所有磁化机制不起作用，$\mu\approx 1$，
从而光学折射率$n=\sqrt{\varepsilon\mu}\approx\sqrt{\varepsilon}$，
故：
$$
S=\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}nE^2=\frac{n}{c\mu_0}E^2
$$
$$
I=\bar{S}=\frac{n}{2c\mu_0}E_0^2
$$

\subsubsection{菲涅尔衍射积分公式}
$$
\tilde{U}(P)=\frac{-i}{2\lambda}\iint_{\Sigma_0}
{\tilde{U}_0(Q)\frac{e^{ikr}}{r}d\Sigma}(\cos\theta_0+\cos\theta)
$$

\subsubsection{衍射光栅}
光强：
$$
I_\theta=I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2
\left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2
$$

其中：$\alpha=\pi\frac{a}{\lambda}\sin\theta$，是单缝衍射因子，
$\beta=\pi\frac{d}{\lambda}\sin\theta$，是缝间干涉因子

\subsubsection{闪耀光栅}
$$
\mathbf{2}d\sin\theta_b=n\lambda_{nb}
$$

其中，$\theta_b$是闪耀角，$\lambda_{nb}$是$n$级闪耀波长

\subsubsection{菲涅尔公式}
反射平行分量、反射垂直分量、折射平行分量、折射垂直分量分别记为：
$E'_p,E'_s,E''_p,E''_s$
$$
E'_p=\frac{n_2\cos\theta_1-n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2}
$$
$$
E'_s=\frac{n_1\cos\theta_1-n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}
$$
$$
E''_p=\frac{2n_1\cos\theta_1}{n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2}
$$
$$
E''_s=\frac{2n_1\cos\theta_1}{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}
$$

\subsubsection{斯托克斯倒逆关系}
对于振幅反射率和透射率：
$$
\tilde{r}'=-\tilde{r},\tilde{r}^2+\tilde{t}\tilde{t}'=1
$$

\subsubsection{双折射}
对于负晶体，$n_o>n_e$，对于正晶体，$n_o<n_e$

法向速度用$v_N$表示，射线速度用$v_r$表示，
$\theta$是垂直入射方向和光轴的夹角，$\xi$是$e$光出射方向和光轴的夹角，$\alpha$是$e$光出射方向和垂直入射方向的夹角：
$$
v_N=v_r\cos\theta
$$
$$
\left(\frac{v_N}{c}\right)^2
=\frac{\cos^2\theta}{n_o^2}+\frac{\sin^2\theta}{n_e^2}
$$
$$
\left(\frac{c}{v_r}\right)^2=n_o^2\cos^2\xi+n_e^2\sin^\xi
$$
$$
\xi=\theta+\alpha
$$
$$
\tan\xi=\frac{n_o^2}{n_e^2}\tan\theta
$$
$$
\cot\xi=\frac{n_e^2}{n_o^2}\cot\theta
$$

定义真空中光速和该方向的相速度之比为折射率：
$$
n(\theta)=\frac{c}{v_N(\theta)}
$$
$$
n^{\mathbf{2}}(\theta)=\frac{n_o^2n_e^2}{n_{\mathbf{e}}^2\cos^2\theta+n_{\mathbf{o}}^2\sin^2\theta}
$$

\subsubsection{晶体布拉格条件}
$$
\mathbf{2}d\sin\theta=k\lambda
$$

\subsubsection{瑞利散射}
$$
I\propto\frac{1}{\lambda^4}
$$

\subsubsection{艾里斑}
$D$是圆孔直径，$\Delta\theta$是角半径：
$$
\Delta\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}
$$

\subsection{几何光学}
\subsubsection{折射球面齐明点}
光线从左侧入射，$A$是右顶点，$Q$对应外侧折射率$n$，$Q'$对应球折射率$n'$：
$$
\frac{\sin u}{\sin u'}=\frac{AQ'}{AQ}
$$

\subsubsection{折射球面}
物像公式：
$$
\frac{n}{s}+\frac{n'}{s'}=\frac{n'-n}{r}
$$
$$
\frac{f}{s}+\frac{f'}{s'}=1
$$

横向放大率：
$$
V=-\frac{ns'}{n's}
$$

\subsubsection{反射球面}
物像公式：
$$
\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=-\frac{2}{r}
$$
$$
f=f'=-\frac{2}{r}
$$

横向放大率：
$$
V=-\frac{s'}{s}
$$

\subsubsection{拉格朗日-亥姆霍兹定理}
$u$是光线对光轴的倾角（取锐角，逆时针正，顺时针负）
$$
ynu=y_in_iu_i
$$

\subsubsection{薄透镜}
薄透镜焦距：
$$
f=\frac{f_1f_2}{f'_1+f2},f'=\frac{f'_1f'_2}{f'_1+f_2}
$$
$$
\frac{f}{f'}=\frac{n}{n'}
$$

在物方像方折射率：$n=n'\approx 1$，磨镜者公式：
$$
f=f'=\frac{1}{(n_L-1)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)}
$$

薄透镜物像公式：
$$
\frac{f}{s}+\frac{f'}{s'}=1
$$
$$
xx'=ff'
$$

横向放大率：
$$
V=-\frac{fs'}{f's}=-\frac{ns'}{n's}=-\frac{f}{x}=-\frac{x'}{f'}
$$

在物方像方折射率相同的情况下：
$$
V=-\frac{s'}{s}
$$

\subsubsection{密接透镜组}
$$
\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}
$$

\subsubsection{理想光具组}
正负号约定($X_H$，$X_{H'}$分别是$H$到$H_1$，$H'$到$H'_2$距离，$d$是$H'_1$到$H_2$的距离)：
\begin{itemize}
    \item 若$F_2$在$F'_1$右边，$\Delta>0$
    \item 若$H_2$在$H'_1$左边，$d>0$
    \item 若$H$在$H_1$左边，$H'$在$H'_2$右边，$X_H>0$，$X_{H'}>0$
\end{itemize}

$$
\Delta=d-f'_1-f_2
$$
$$
f=-\frac{f_1f_2}{\Delta}
$$
$$
f'=-\frac{f'_1f'_2}{\Delta}
$$
$$
X_H=f_1\frac{d}{\Delta}
$$
$$
X_{H'}=f'_2\frac{d}{\Delta}
$$

\section{近代物理}
\subsection{四矢量}
洛伦兹变换矩阵(逆变换)
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
    \gamma&-\beta\gamma&0&0\\
    -\beta\gamma&\gamma&0&0\\
    0&0&1&0\\
    0&0&0&1
\end{bmatrix}
\end{equation*}

四坐标：
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
    ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}
\end{equation*}

四动量：
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
    \frac{E}{c}\\p_x\\p_y\\p_z
\end{bmatrix}
\end{equation*}

四波矢：
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
    \frac{\omega}{c}\\k_x\\k_y\\k_z
\end{bmatrix}
\end{equation*}

四速度：
\begin{equation*}
    \begin{bmatrix}
        \gamma\\\frac{v_x\gamma}{c}\\\frac{v_y\gamma}{c}\\\frac{v_z\gamma}{c}
    \end{bmatrix}
    \end{equation*}

\subsection{相对论角度变换}
$$
\tan\theta'=\frac
{\sqrt{1-\beta^2}\sin\theta}{\cos\theta-\beta}
$$
$$
\cos\theta'=\frac{\cos\theta+\beta}{1+\beta\cos\theta}
$$
$$
\sin\theta'=\frac{\sin\theta\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta\cos\theta}
$$

\subsection{康普顿散射}
$\lambda$是原波长，$\lambda'$是散射后波长，$\theta$是散射角：
$$
\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta)
$$

Casio-991CN X中：
$$
\lambda_{Cp}=\frac{h}{m_ec}
$$

\subsection{波尔氢原子}
电子能级能量：
$$
E_n=-\frac{m_ee^4Z^2}{8\varepsilon_0^2h^2n^2}
=-\frac{m_ee^4Z^2}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2}
$$

引入无量纲常数精细结构常数：
$$
\alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx\frac{1}{137}
$$

速度：
$$
v_n=\alpha c\frac{Z}{n}
$$

\subsection{化学}
能斯特方程：
$$
\mathscr{E}=\mathscr{E}_0-\frac{RT}{nF}\ln{\frac{c(O)}{c(R)}}
$$

其中：$\mathscr{E}$是电动势，$\mathscr{E}_0$是标准条件下电极电势，
$F$是法拉第常数，$c(O),c(R)$分别是氧化物量浓度和还原物量浓度

\section{杂项公式}
\subsection{双星引力波耗散}
这里纯粹是因为写37届复赛第7题背错了导致翻车不服气。

假设孤立系统内有两个可作为质点处理的星球，
爱因斯坦证明了这个系统内质点的速度若足够慢时，
系统所发出来的引力波具有如下特征：
\begin{enumerate}
    \item 引力波的频率等于这对星球旋转时的角频率的两倍
    \item 引力波可以通过发光来描述，发光功率为$P$，其可以利用爱因斯坦的四极矩方程表示：
    
    $$
    P=\frac{G}{5c^5}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}
    \left(\frac{d^3Q_{ij}}{dt^3}\right)^2
    $$
\end{enumerate}

对于$x-y$平面上的两质点系统，$(x_A,y_A)$是质心坐标：
\textlarger[-2.5]{
    \begin{equation*}
        \begin{bmatrix}
            \sum\limits_{A=1}^{2}\frac{M_A}{3}(2x_A^2-y_A^2)&\sum\limits_{A=1}^{2}M_Ax_Ay_A&0\\
            \sum\limits_{A=1}^{2}M_Ax_Ay_A&\sum\limits_{A=1}^{2}\frac{M_A}{3}(2y_A^2-x_A^2)&0\\
            0&0&-\sum\limits_{A=1}^{2}\frac{M_A}{3}(x_A^2+y_A^2)
        \end{bmatrix}
    \end{equation*}}

若设转动角速度$\omega$，$Q_{ij}$可以写成($\mu$是约化质量，$M$是合质量)：
\begin{equation*}
    \begin{bmatrix}
        \frac{1}{3}+\cos2\omega t&\sin2\omega t&0\\
        \sin2\omega t&\frac{1}{3}-\cos2\omega t&0\\
        0&0&-\frac{2}{3}
    \end{bmatrix}
\end{equation*}

从而有：
$$
P=\frac{32}{5}\frac{G}{c^5}\mu^2L^4\omega^6
$$

\end{document}